克里特人Epimenides的悖论
一个典型的逻辑悖论是Epimenides paradox，这个悖论是用克利特哲学家埃庇米尼得斯（Epimenides）的名字命名的。
从Wikipedia上我们可以看到这个悖论，简要如下。
Epimenides was a Cretan who made one immortal statement: "All Cretans are liars."
克利特人埃庇米尼得斯（Epimenides）说了一句很有名的话：“所有克里特人都说谎。”
若我们假设谓词
P(x, y)为“x所说的y的真值 与 y实际的真值 是相反的”，C(x)为“x是克里特人”
那么对于上面的陈述我们有
∀x∀y(C(x) → P(x, y)) · · · · · · · · · · · · · · · · · (1)
那么根据全称实例（Universal instantiation）我们有，
∀y(C(e) → S(e, y)) · · · · · · · · · · · · · · · · · (2)
现在，我们将令命题Q为“∀x∀y(C(x) → P(x, y))”，那么现在问题来了，
- 如果(1)式为真（即命题Q为真）。
那么我们令x为e，y为Q，代入(1)式后我们有
C(e) → S(e, Q)
现在已知C(e)为真，那么在(1)式为真的假设下，S(e, Q)也一定为真。S(e, Q)为真就意味着e所说的“∀x∀y(C(x) → P(x, y))”具有与其本身相反的真值，即我们得出结论，“∀x∀y(C(x) → P(x, y))”（也就是我们的(1)式）为假。这与我们的假设矛盾。
- 如果(1)式为假（即命题Q为假）。
我们知道如果一个全称命题为假，那么就是意味着可以找到至少一个使它为假的物证。根据条件语句的真值表和量词的否定，我们有
∃x∃y(C(x) → ┐P(x, y)) · · · · · · · · · · · · · · · · · (3)
且(3)式为真（因为只有这样我们的(1)式才能为假）。即“存在一个克里特人他至少有一句话不说谎”是真的，或者理解为“存在一个克里特人，存在至少一个 他所说的y的真值 与 y实际的真值 是相同的”。
那么根据存在实例（Existence instantiation），我们可以令x为e，y为Q，代入(1)式后有，
C(e) → ┐P(e, Q)
现在已有C(e)为真，那么 ┐P(e, Q)的真值呢？
如果这里的Q正好是那个使得┐P(e, Q)为真的Q的话，那么我们有“e这个克里特人所说的Q的真值 与 Q实际的真值 相同”是真的。即，e说“所有的克里特人所有说出口的都是谎话”为真（e说Q为真），此时Q为假。e所说的 与 实际的 不同，矛盾。
如果这里的Q使得┐P(e, Q)为假，那么条件语句的结论为假。我们有“e这个克里特人所说的Q的真值 与 Q实际的真值 不同”是真的。即，e说“所有的克里特人所有说出口的都是谎话”为假（e说Q为假），此时Q为假，e所说的 与 实际的 相同，矛盾。
至此，我们的悖论产生了，Q不论取真还是取假，我们都得出了矛盾的结果。
于是我们有了克里特人的悖论。
对克里特人悖论的理解：
假设我们的论域为集合A，对于所有的a∈A都具有某种性质Q。现在存在一个e∈A，e说“对于所有的a∈A都具有某种性质Q”却会产生一个悖论。
这大概像是“有一种东西只要你一说出来就会打破”。
或者是，我们都知道空集Ø是任何集合的子集，但是你一旦显式地写在集合里它的意义就变了。
{} ≠ {Ø}
因为Ø = {}，那么{Ø} = {{}} ≠ {}
（如果你恰好有编写程序方面的知识的话，这个理由应该很好理解：变量a是一个集合，它里面有一个变量b，这个变量b也是一个集合，不过这个b的集合是空的。显然我们知道变量a不等于变量b（当然我们比较内容而非比较指针））
Jourdain 纸牌悖论
纸牌悖论就是纸牌的一面写着："纸牌反面的句子是对的。"而另一面却写着："纸牌反面的句子是错的。"
纸牌悖论的形式如下，
令命题P为“命题Q为真”，命题Q为“命题P为假”。
我们可以采用类似于真值表的方式来证明这是一个悖论。让我们先考虑命题P，
| P | Q | 备注 |
| T | T | 因为P为真，即“命题Q为真”是真的 |
| F | F | 因为P为假，即“命题Q为真”是假的 |
可以看出，在P为真时，Q为真，这意味着命题Q“命题P为假”是真的，这显然与我们的假设矛盾了。
对于P为假时，类似地，我们也能得出矛盾的结果。
那么我们先考虑命题Q呢？
| Q | P | 备注 |
| T | F | 因为Q为真，即“命题Q为假”是真的 |
| F | T | 因为Q为假，即“命题P为假”是假的 |
可以看出，在Q为真时，P为假，这意味着命题P“命题Q为真”是假的，这显然与我们的假设矛盾了。
对于Q为假时，类似地，我们也能得出矛盾的结果。
对Jourdain 纸牌悖论的理解：
我们有两个命题，A和B。
A为真导致B为真/假，此时B又将导致A为假。A为假导致B为真/假，此时B又将导致A为真。
或者我们可以这样思考纸牌悖论。
继续令命题P为“命题Q为真”，命题Q为“命题P为假”。
那么为了知道命题P是否为真，我们需要知道“命题Q为真”是否为真，即判断命题Q的真值；为了知道命题Q是否为真，我们需要知道“命题P为真”是否为真，即判断命题P的真值；为了知道命题P是否为真，我们需要知道“命题Q为真”是否为真，即判断命题Q的真值……
明显，我们将陷入无限递归中。这类似于定义函数f(x)与g(x)
f(x):
1 · · · · · · · · (g(x) = 0)
0 · · · · · · · · (g(x) = 1)
g(x):
1 · · · · · · · · (f(x) = 1)
0 · · · · · · · · (f(x) = 0)
此时，如果试图获取f(1)的值，我们将需要g(1)的值，为了拿到g(1)的值，我们将需要f(1)的值。
理发师悖论
有个理发师说,我只为不给自己理发的人理发。问他应该给自己理发吗?
理发师悖论是罗素悖论的一个通俗化表达，罗素悖论为：
设性质P(x)表示“x不属于x”，现假设由性质P确定了一个类A——也就是说“A={x|x∉x}”。那么问题是：A属于A是否成立？首先，若A属于A，则A是A的元素，那么A具有性质P，由性质P知A不属于A；其次，若A不属于A，也就是说A具有性质P，而A是由所有具有性质P的类组成的，所以A属于A。
关于罗素悖论，不得不多说一些内容，
十九世纪下半叶，德国数学家康托尔创立了著名的集合论，在集合论刚产生时，曾遭到许多人的猛烈攻击。但不久这一开创性成果就为广大数学家所接受了，并且获得广泛而高度的赞誉。数学家们发现，从自然数与康托尔集合论出发可建立起整个数学大厦。因而集合论成为现代数学的基石。“一切数学成果可建立在集合论基础上”这一发现使数学家们为之陶醉。
1903年，一个震惊数学界的消息传出：集合论是有漏洞的！这就是英国数学家罗素提出的著名的罗素悖论。罗素的这条悖论使集合论产生了危机。它非常浅显易懂，而且所涉及的只是集合论中最基本的东西。所以，罗素悖论一提出就在当时的数学界与逻辑学界内引起了极大震动。德国的著名逻辑学家弗雷格在他的关于集合的基础理论完稿付印时，收到了罗素关于这一悖论的信。他立刻发现，自己忙了很久得出的一系列结果却被这条悖论搅得一团糟。他只能在自己著作的末尾写道：“一个科学家所碰到的最倒霉的事，莫过于是在他的工作即将完成时却发现所干的工作的基础崩溃了。”
这就是著名的第三次数学危机，而康托尔创立的集合论是现代数学的基础，也是产生危机的直接来源。
根据记载，福尔蒂在1897年揭示了集合论中的第一个悖论。
布拉利和福尔蒂提出一个悖论：设W为一切序数所组成的集合。因为W按自然大小顺序成一良序集，故W有一序数Ω。由序数性质，Ω必比W中任一序数都大，但由定义，Ω也出现在W中，从而将有Ω>Ω，这是矛盾的。即推出互相矛盾的命题，所以是悖论。
康托尔自己也发现了一个悖论
包含一切集合的集合是否存在？
更严重的就是刚才写出的罗素悖论，其中涉及的是以自己为元素的集合。
在此之后，为了解决数学危机，提出了公理集合论（Axiomatic set theory）。