今天在书上看到这样一段话

设随机变量X~B(n, p)，当n很大，p很小，且λ = np适中时，有

$\text{P}\left(X=k\right)\text{≈}\frac{{\lambda }^k}{k!}{\mathrm{e}}^{-\lambda }\left(k\text{= 0, 1, 2, ...}\right)$

不过书上没有给出证明，下面就是这个近似的证明。

首先我们对二项分布的公式变形如下

${\text{C}}_n^k{p}^k{\left(1-p\right)}^{n-k}$

$\text{=}\frac{n!}{k!\left(n-k\right)!}{p}^k{\left(1-p\right)}^{n-k}$

$\text{=}\frac{n\left(n-1\right)\text{...}\left(n-k+1\right)}{k!}{p}^k{\left(1-p\right)}^{n-k}$

接着对上式取极限，当n趋于无穷大，p趋于0+时

$\underset{p\to 0+}{\underset{n\to \infty }{\text{lim}}}\frac{n\left(n-1\right)\text{...}\left(n-k+1\right)}{k!}{p}^k{\left(1-p\right)}^{n-k}$

$\text{=}\underset{p\to 0+}{\underset{n\to \infty }{\text{lim}}}\frac{n\left(n-1\right)\text{...}\left(n-k+1\right)p^k}{k!}{\left(1-p\right)}^{-\frac{1}{p}\left(-pn\right)}$

在上面一步中，因为n是趋于无穷大的，所以对n-k取极限得n，然后提出一个 负的1/p
可以看到分式右边有形如下方所示的式子，取极限得e。

$\underset{x\to 0}{\text{lim}}{\left(1+x\right)}^{\frac{1}{x}}$

取极限为e之后我们得到:

$\text{=}\underset{p\to 0+}{\underset{n\to \infty }{\text{lim}}}\frac{{\left(np\right)}^k}{k!}{\mathrm{e}}^{\left(-np\right)}$

上面一步因为n趋于无穷大，所以分子部分每个n的式子都取为n，一共有k个，即n的k次方
下一步我们使用λ替换np即可

$\text{=}\frac{{\lambda }^k}{k!}{\mathrm{e}}^{-\lambda }$