量子力学在奇偶游戏中的运用

假设你和你的朋友在外闲逛时，突然被邀请参加一个便于本文接着写下去的游戏——奇偶游戏。游戏的主持人告诉你们，两位参赛者，友人 A 和你（那么不妨称你为便于后文表示的友人 B 吧w），在正式开始比赛之后，处于相互隔离（即无法交换信息）的状态。游戏的主持者会随机选取两个二进制位 $x, y\in \{0,1\}$。然后 $x$ 会交给友人 A，$y$ 自然是交给你，即友人 A 知道 $x$ 是 0 还是 1，但不知道 $y$ 的值；类似的，你知道 $y$ 的值，但不知道友人 A 手上的 $x$ 的值。你们需要根据自己所知道的值，分别给出一个二进制位 $a, b\in \{0,1\}$ 作为回答。

在你们都给出了回答之后，主持者先计算 $a \oplus b$ 的值（$\oplus$ 代表异或运算），然后计算 $x\wedge y$ 的值。如果有 $a \oplus b = x\wedge y$，那么你们就获胜。~~（会获得什么奖品呢～我想要小裙子！）~~

假设在比赛开始前（或者说参赛前），你和友人 A 可以在一起商量策略，设计一个使你们最大可能获胜的方案。那么传统的策略有两种，一种是确定型的，另一种是随机的。下面进入你们的讨论过程吧。

“如果我们用固定的方案的话，每个人不外乎只有 4 种呢_(: 」∠)_”

友人 A：“嗯，要么是一直回答 0，要么一直回答 1，或者拿到什么就回答什么，最后就是回答和自己拿到的值相反的呢。”

“是的呢，用函数表示的话，就是下面这种样子呢\(//∇//)\”

\begin{equation}
\left\{
\begin{aligned}
f_1(x) &= 0\\
f_2(x) &= 1\\
f_3(x) &= x\\
f_4(x) &=
\left\{
\begin{aligned}
0 \text{ if }x=1\\
1 \text{ if }x=0
\end{aligned}
\right.
\end{aligned}
\right.
\end{equation}

友人 A：“来算算我们获胜的概率吧(=ﾟωﾟ)ﾉ”

“假如说我选择了 $f_3(x) = x$ 吧，那么我们先把上面的判定条件调整一下。”

\begin{equation}
\begin{aligned}
a \oplus b &= x\wedge y\\
x \oplus b &= x\wedge y\\
x \oplus x \oplus b &= x \oplus (x\wedge y)\\
0 \oplus b &= x \oplus (x\wedge y)\\
b &= x \oplus (x\wedge y)
\end{aligned}
\end{equation}

友人 A：“这个我能明白，因为你的答案 $a \equiv x$，所以先将左边的 $a$ 替换为 $x$，接着在两边再次同时异或 $x$，根据异或计算的特点，我们知道这个是和原来的式子等价的w”

“那么现在就看你的回答了，当你拿到 $y$ 以后，你会怎么选(｡･ω･｡)”

友人 A：“如果 $y = 1$ 的话，显然有 $x\wedge y = x$，接着 $x \oplus x = 0$，那么这个时候我直接回答 0 就可以保证我们 100% 胜。如果 $y = 0$ 的话，就会有$x\wedge y = 0$，然后变成 $0 \oplus x = x$，而然我又不可能知道你的 $x$，不管我选哪个，甚至我用上概率型的方法——投骰子，我也只有 $\frac{1}{2}$ 的概率给出和你的 $x$ 相同的回答呢QAQ”

“那么我们总的胜率就该这么算，因为 $y$ 有一半可能是 0，一半可能是 1，所以 $y = 0$ 时，就看你那儿的一半对一半运气，即$\frac{1}{2}\times \frac{1}{2}=\frac{1}{4}$；当 $y = 1$ 时，我们总是可以保证获胜，则$\frac{1}{2}\times 1=\frac{1}{2}$。加起来就是$\frac{1}{4}+\frac{1}{2}=\frac{3}{4}$，看起来好像还不错呢(๑╹ω╹๑ )”

友人 A：“唔，但是奖品好像很不错呢～能不能找出一个更好的方案呢，75% 的概率似乎也不太高呢╮(╯▽╰)╭”

“要去图书馆才知道～”

友人 A：“图书馆？！”

“没错～不知道的时候就去图书馆找答案”

友人 A：“哪里还有时间去了啦(╯°□°）╯︵ ┻━┻”

“那还有别的东西吗┬─┬ ノ( ゜-゜ノ)”

友人 A：“我这里就还有一个祖传的便于作者编下去的正好是处于 $|00\rangle + |11\rangle$ 叠加态的 2-量子位系统。”

“すーごいー！！”

友人 A：“我们要怎么用起来呢(⁎⁍̴̛ᴗ⁍̴̛⁎)”

“是这样的～我们先把这个 2-量子位系统分裂为 2 个 1-量子位系统，你拿一个，我拿一个。不过在比赛开始之前都不要测量哦～”

友人 A：“这倒是没问题，不过我们的策略是什么喵？”

“我拿到 $x$ 之后，如果 $x = 1$，那么我会将我的量子位旋转 $\frac{\pi}{8}$。否则什么也不做。嘛～量子力学允许我这么做，并且不会破坏这个系统，不过解释起来过于繁杂，我们还是专注于这个游戏吧。”

友人 A：“可是你说的‘旋转’是什么意思呢(>﹏<)”

“我发现你拿到的恰好是具有实数振幅的、利于我们继续讲下去的量子，我们不妨将这样的一个量子态想像成在二维空间上的几何向量，$|0\rangle$ 我们可以想为 $(1, 0)$，对应的 $|1\rangle$ 则是 $(0, 1)$。”

友人 A：“到这里我觉得我还是能理解，$|0\rangle$ 是一种量子力学中的表示，不过此处我们可以看成 $R^2$ 平面上的基向量 $\vec{e_1}=(1, 0)$，$|1\rangle$ 也类似的，$\vec{e_2}=(0, 1)$，没错吧☆〜（ゝ。∂）”

“嗯嗯，那么我们表示量子力学中的叠加态就简单多了对吧，比如说叠加态的 $\alpha_0|0\rangle+\alpha_1|1\rangle$，经过我们这样的转化之后，可以等价的表示为 $R^2$ 中的向量 $\alpha_0\vec{e_1}+\alpha_1\vec{e_2}$。当然，这里我们要 $\alpha_0, \alpha_1$ 满足平方和等于一，即 $\alpha^2_0+\alpha^2_1=1$。我们拿到的 $|00\rangle + |11\rangle$ 这种叠加态实际上省去了前面的系数 $\alpha_0=\alpha_1=\frac{1}{\sqrt{2}}$，在均匀态的时候，系数，或者说归一化因子，是可以省略掉的。因此我们拿到的，即为 $\frac{1}{\sqrt{2}}|00\rangle + \frac{1}{\sqrt{2}}|11\rangle$，于是在你测量的时候，看到 $|00\rangle$ 的概率为 $(\frac{1}{\sqrt{2}})^2=\frac{1}{2}$，$|11\rangle$ 的概率也同样是 $\frac{1}{2}$。”

友人 A：“这样啊，不过看到这些，还有平方和相加等于一，总会不自觉的想到 $\sin^2 \theta+\cos^2 \theta=1$ 的说。”

“是的，我正要说呢，我们可以令 $\alpha_0=\cos \theta, \alpha_1=\sin \theta$，于是替换掉原来的 $\alpha_0, \alpha_1$，就可以更直观的表示出来了\(≧▽≦)/”

友人 A：“这样看起来的话，并不算难以理解～那么接下来呢？”

“接下来就是你在收到 $y$ 以后，如果 $y = 1$，就将你的量子位旋转 $-\frac{\pi}{8}$。否则就不用动。然后我们测量出自己的量子位，将结果作为自己的答案就行。”

友人 A：“策略我理解了，但是这样的方法真的能提高我们获胜的概率嘛∑(ﾟДﾟ)”

“那不妨来演算一下吧，首先我们拿到的是原先处于 $|00\rangle + |11\rangle$ 叠加态分裂之后的 2 个 1-量子位系统。然后如果有 $x = y = 0$，那么 $x\wedge y$ 的结果也是 $0$，此时根据我们的策略，你和我都不会旋转自己的量子位，量子力学告诉我们，我们这个时候测量的话，虽然单看自己得到 0, 1 的概率都是 $\frac{1}{2}$，但结合两个人，一定会要么都是 $|0\rangle$，要么都是 $|1\rangle$，根据异或计算，我们的 $a\oplus b$ 也等于 $0$。”

友人 A：“也就是说在 $x = y = 0$ 这种情况下，我们是必胜的。也就有了 $\frac{1}{4}\times 1=\frac{1}{4}$ 的概率。接下来呢”

“接下来我们考虑 $x\not=y$ 的情况，因为这里两种情况是对称的，所以我只说说 $x=0, y=1$ 的推算。$x=0$ 时，我不会操作我的量子位，于是我测量得到 0 的概率是 $\frac{1}{2}$，在你将自己的量子位旋转 $-\frac{\pi}{8}$ 后，对应到上面的 $R^2$ 的表示的话，$\theta=-\frac{\pi}{8}$，需要注意的是，因为我得到 0 了，所以我知道我们的系统原先是 $|00\rangle$，于是用 $\cos^2 \theta$ 来算的话，就是算出你得到 0 的概率，即 $\cos^2 \theta=\cos^2 -\frac{\pi}{8}$。同样的，如果我测量得到的是 1，我们的系统原先则是 $|11\rangle$，于是用 $\cos^2 \theta$ 来算的话，就是算出你得到 1 的概率，也是 $\cos^2 -\frac{\pi}{8}$。”

友人 A：“呜……也就是说，在 $x\not=y$ 的情况下，因为 $x\wedge y = 0$，所以只需要考虑我们给出的答案相同的可能性，即 $a=b$ 的概率。根据你的推算，这个概率是 $\cos^2 -\frac{\pi}{8}$。如果我没算错的话，这个值大概是 $\frac{1}{4\sqrt{2}} + 0.5\approx 0.85$。因此，我们总的获胜几率又增加了 $\frac{1}{2}\times 0.85$ 呢(((o(*ﾟ▽ﾟ*)o)))”

“是的，现在就剩最后一个了，$x=y=1$，这是我们都进行了量子位旋转的那种情况。因为我们是先旋转，再测量，所以我们的这个 2-量子位系统进入的状态是这样的(・Д・)ノ”

\begin{equation}
    \begin{aligned}
        &(\cos(\frac{\pi}{8})|0\rangle + \sin(\frac{\pi}{8})|1\rangle)(\cos(\frac{\pi}{8})|0\rangle - \sin(\frac{\pi}{8})|1\rangle) + (-\sin(\frac{\pi}{8})|0\rangle + \cos(\frac{\pi}{8})|1\rangle)(\sin(\frac{\pi}{8})|0\rangle + \cos(\frac{\pi}{8})|1\rangle)\\
        =&(\cos^2(\frac{\pi}{8})-\sin^2(\frac{\pi}{8}))|00\rangle-2\sin(\frac{\pi}{8})\cos(\frac{\pi}{8})|01\rangle+2\sin(\frac{\pi}{8})\cos(\frac{\pi}{8})|10\rangle+(\cos^2(\frac{\pi}{8})-\sin^2(\frac{\pi}{8}))11\rangle\\
        =&\cos(\frac{\pi}{4})|00\rangle-2\sin(\frac{\pi}{8})\cos(\frac{\pi}{8})|01\rangle+2\sin(\frac{\pi}{8})\cos(\frac{\pi}{8})|10\rangle+\cos(\frac{\pi}{4})11\rangle\\
        =&\sin(\frac{\pi}{4})|00\rangle-2\sin(\frac{\pi}{8})\cos(\frac{\pi}{8})|01\rangle+2\sin(\frac{\pi}{8})\cos(\frac{\pi}{8})|10\rangle+\sin(\frac{\pi}{4})11\rangle\\
        =&2\sin(\frac{\pi}{8})\cos(\frac{\pi}{8})|00\rangle-2\sin(\frac{\pi}{8})\cos(\frac{\pi}{8})|01\rangle+2\sin(\frac{\pi}{8})\cos(\frac{\pi}{8})|10\rangle+2\sin(\frac{\pi}{8})\cos(\frac{\pi}{8})11\rangle\\
        =&|00\rangle+|10\rangle+|01\rangle+|11\rangle
    \end{aligned}
\end{equation}

友人 A：“我先走了（・◇・）/~~~”

“不要哇wwww其实只是根据旋转之后的概率写了一下，中间利用三角函数公式变换，最后得出此时我们又变成了一个均匀态，也就是说，量子力学告诉我们，我们可能给出的 4 种结果，$(a=0 \wedge b=0)$, $(a=0 \wedge b=1)$, $(a=1 \wedge b=0)$ 以及 $(a=1 \wedge b=1)$ 都具有相同的概率。因为主持人给我们的 $x=y=1$，所以 $x\wedge y = 1$，我们这边要让 $a\oplus b=1$ 的话，结果中有 2 种可以满足，又因为这 4 种是等概率的，因此 $a\oplus b=1$ 的概率为 $\frac{1}{2}$。即我们在这种情况下获胜的概率是 $\frac{1}{4}\times \frac{1}{2}=\frac{1}{8}$。”

友人 A：“那……来算算总的获胜概率_φ(･_･”

\begin{equation}
    \begin{aligned}
        &\frac{1}{4}\times 1+\frac{1}{2}\times (\frac{1}{4\sqrt{2}} + 0.5) + \frac{1}{4}\times\frac{1}{2}\\
        \approx &0.25+0.5\times 0.85 + 0.125\\
        =&0.25+0.425+0.125\\
        =&0.8
    \end{aligned}
\end{equation}

友人 A：“居然真的比传统策略的获胜率高耶☆*:.｡. o(≧▽≦)o .｡.:*☆”

“(=´∀｀)人(´∀｀=)”