今天在书上看到这样一段话
设随机变量X~B(n, p),当n很大,p很小,且λ = np适中时,有
不过书上没有给出证明,下面就是这个近似的证明。
首先我们对二项分布的公式变形如下
接着对上式取极限,当n趋于无穷大,p趋于0+时
在上面一步中,因为n是趋于无穷大的,所以对n-k取极限得n,然后提出一个 负的1/p
可以看到分式右边有形如下方所示的式子,取极限得e。
取极限为e之后我们得到:
上面一步因为n趋于无穷大,所以分子部分每个n的式子都取为n,一共有k个,即n的k次方
下一步我们使用λ替换np即可